من أكثر الأسئلة تكراراً في بجروت الرياضيات (571 — 5 وحدات) هي أسئلة الهندسة التحليلية التي تجمع بين القطع المكافئ والمماس له. إليك مثالاً كاملاً محلولاً خطوة بخطوة، بنفس التقنية والمستوى المتوقعين في الامتحان الفعلي.
السؤال
معطى القطع المكافئ y² = 4x، والنقطة A تقع عليه بحيث إحداثيها x هو 4.
أ. جدوا إحداثيات النقطة A كاملة. ب. جدوا معادلة المماس للقطع المكافئ عند النقطة A. جـ. هذا المماس يقطع المحور y عند نقطة B. جدوا إحداثيات B. د. جدوا طول القطعة AB.
الحل
أ. إيجاد إحداثيات A
بما أن A تقع على القطع المكافئ، فإن إحداثياتها تحقق معادلته. نعوّض x = 4:
y² = 4(4) = 16
إذن y = 4 أو y = -4. بما أن السؤال يذكر نقطة واحدة محددة، سنأخذ الحل الموجب:
A(4, 4)
ب. إيجاد معادلة المماس
هنا الخطوة الأهم في السؤال بأكمله. لقطع مكافئ من الصيغة y² = 2px، معادلة المماس عند نقطة (x₁, y₁) عليه هي:
y · y₁ = p(x + x₁)
بمقارنة y² = 4x مع الصيغة العامة y² = 2px، نحصل على 2p = 4، أي p = 2.
نعوّض p = 2 و(x₁, y₁) = (4, 4):
y · 4 = 2(x + 4) 4y = 2x + 8 y = x/2 + 2
تحقق سريع (طريقة بديلة): يمكن الوصول لنفس النتيجة عبر المشتقة. من y² = 4x، نشتق ضمنياً: 2y·(dy/dx) = 4، إذن dy/dx = 2/y. عند y = 4: الميل = 2/4 = 1/2 — نفس الميل الذي حصلنا عليه، ما يؤكد صحة معادلة المماس.
جـ. إيجاد النقطة B
B هي نقطة تقاطع المماس مع المحور y، أي عندما x = 0:
y = 0/2 + 2 = 2
B(0, 2)
د. إيجاد طول القطعة AB
نستخدم صيغة المسافة بين نقطتين:
AB = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²] AB = √[(0-4)² + (2-4)²] AB = √[16 + 4] AB = √20 = 2√5
لماذا هذا النمط من الأسئلة يستحق تدريباً خاصاً
لاحظ كيف كل بند يعتمد على نتيجة البند الذي قبله — إذا أخطأت في إيجاد A، ستحمل هذا الخطأ عبر بقية الحل. هذا هو السبب في أن الهندسة التحليلية تحديداً من المواضيع التي تكافئ الدقة والتحقق الذاتي (كما فعلنا في البند ب) أكثر من أي موضوع آخر تقريباً.
نصيحة عملية: تدرّب على حفظ معادلة المماس للقطع المكافئ عن ظهر قلب، لكن افهم أيضاً كيف تشتقها بنفسك عبر المشتقة — لأن هذا يمنحك طريقة تحقق فورية أثناء الامتحان نفسه، تماماً كما فعلنا في البند ب أعلاه.